Consigne: Calculer l'ordre de la permutation \(\varphi=(1\,10\,3\,4\,8\,7)(2956)\)

\(\varphi\) se décompose en deux cycles disjoints de longueur \(6\) et \(4\)
L'ordre de \(\varphi\) est donc \(\operatorname{ppcm}(6,4)=12\)

Consigne: Sachant que \(\varphi=(1\,10\,3\,4\,8\,7)(2956)\) est d'ordre \(12\), calculer \(\varphi^{1998}\)

Simplifier la puissance en utilisant l'ordre de \(\varphi\)
Puisque \(\varphi^{12}=\operatorname{Id}\), on a : $$\varphi^{1998}=\varphi^{12\times166+6}=\varphi^6$$

Simplifier l'écriture de \(\varphi^6\)

De plus, on a (puisque les cycles sont disjoints) : $$\varphi^6=(1\,10\,3\,4\,8\,7)^6(2956)^6=\operatorname{Id}\circ(25)(96)=(25)(96)$$

(Congruence (arithmétique))